Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, трехмерная система координат, координаты точек

Системы координат

Название оси x относится к системам координат. На самом деле в мире используются две системы, хотя декартова система координат нам знакома.

Плоская декартова система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Пересечение между отрезками считается началом отчета. На каждом из сегментов указан отдельный сегмент и направление движения.

Каждый из перпендикулярных отрезков называется осью. Единичный сегмент для каждой из осей может быть разным. Направления обычно задаются традиционно: вверх и вправо. Но иногда составители задач пытаются подловить на этом студентов и создают в системе другие направления. Поэтому необходимо быть предельно осторожным при работе с чужой системой координат.

Другая система координат называется полярной. Если в декартовой системе для определения положения точки нужно знать две координаты, то в полярной системе нужно знать координату и угол места. Эта система использовалась еще в древности, сегодня от нее почти отказались из-за чрезмерной сложности.

Декартова система координат

Принцип работы с декартовой системой основан на понимании концепции проекции. Проекция в системе представляет собой перпендикуляр, опущенный на ось. Оси обозначены как x и y. Ось X направлена ​​вправо. Ось Y направлена ​​влево.

Представьте себе точку на плоскости. Если нам нужно знать его координаты, нам нужно опустить два перпендикуляра: по одному на каждую ось.

Так мы получаем проекцию точки на ось абсцисс, это отрезок от начала отчета до пересечения оси с перпендикуляром. И проекция отрезка на ось Y: это расстояние по оси Y от начала координат до пересечения оси с перпендикуляром.

Значением каждой из проекций будут координаты точки на плоскости. С теми же координатами можно снова получить точку. Для этого отложите на осях необходимые значения, а затем проведите перпендикулярные осям прямые линии через заданные точки. Пересечение перпендикуляров и будет искомой линией.

Оси декартовой системы

Вот мы и подошли к главному вопросу. Ось x называется осью x. Название происходит от латинского «сегмент». Ось так называется, потому что она отслеживает горизонтальное движение до точки.

Вторая ось называется осью Y, от латинского «порядок, движение по порядку». Это означает, что эта координата отслеживает порядок движения вверх. Такова была логика древних математиков.

Секрет в том, что названия осей можно менять как угодно, но оси все равно будут называться осью х и осью у. Независимо от буквенного обозначения осей, отдельных сегментов и происхождения.

Что мы узнали?

Мы говорили о системах координат. Мы различали полярную и декартову системы. Отдельно обсуждалась декартова система. Мы говорили об обязательных свойствах системы координат: единичный отрезок, направление осей, начало координат. Узнайте, что такое ось х. Мы рассказали о том, почему каждый из топоров получил такое название.

Оси координат

Оси координат являются основой системы. Чтобы найти координаты любой точки, нужно опустить перпендикуляры к каждой из осей. Отрезки, заключенные между точкой отсчета и пересечением оси с перпендикуляром, называются проекциями точки на ось. Размер этих проекций, выраженный в единичных отрезках, и есть координаты точки.

Традиционно оси называются переменными x и y. Это связано с традиционными обозначениями функций, которые часто переносят на ось координат в виде графиков. Например, функция y=x+3 представляет собой прямую линию. При этом сразу видно, что если заменить любое число на x, то можно получить соответствующее значение y. Так вычисляются координаты точки на графике.

На самом деле топоры можно называть как угодно. Это зависит только от ученика, решившего задачу. И всегда сохраняются названия абсцисс и ординат.

Ось x называется осью x. Он отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латыни «абсцисса» переводится как «отрезок».

Если коротко говорить об оси у, то это название оси у. Эта ось отвечает за вертикальное перемещение. Если точка поднимается или опускается, это можно отследить по изменению ординаты. Ордината переводится как порядок.

Ось x называется осью x. Он отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латыни «абсцисса» переводится как «отрезок».

Если воспользоваться переводом, то можно сказать так: чтобы отметить точку в системе координат, нужно отложить горизонтальный отрезок, равный абсциссе, и поднять точку на несколько порядков выше ординаты. Это облегчает запоминание правильных имен осей.

Значение слова «Абсцисса»

В словаре Даля

и пусть часть оси превратится в правильную кривую линию, отрезанную ординатой, идущей вертикально к оси.

В словаре Ефремовой

Выделение: абсцисса

1. Одна из прямоугольных координат, определяющая положение точки на плоскости или в пространстве (в математике).

В словаре Д.Н. Ушакова

АБСЦИСА, абсцисса, женщины. (лат абисса, лит отрезано) (мат.). Отрезок горизонтальной линии от пересечения осей координат до ординаты искомой точки. На диаграмме роста сети железных дорог по оси абсцисс отложены годы.

В словаре Синонимов

координировать

В словаре Энциклопедии

(от лат abscissa — отрезать), одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой х.

В словаре Синонимы 4

координировать

В словаре Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализня

абсцисса,
абсцисса,
абсцисса,
абсцисса,
абсцисса,
абсцисса,
абсцисса
абсцисса,
абсцисса
абсцисса
абсцисса,
абсцисса,
абсцисса

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

С введением системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств с помощью уравнений и неравенств. У этого есть другое название — методы алгебры.

Эта статья поможет вам разобраться в задаче прямоугольной декартовой системы координат и определении координат точек. Более наглядная и подробная картина доступна в графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные линии. Выбираем положительное направление, которое указано стрелкой. Вы должны выбрать масштаб. Точка пересечения линий будет называться буквой О. Она считается точкой отсчета. Это называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые линии с началом O, имеющие направление и масштаб, называются координатными линиями или координатными осями.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Оси координат называются Ox и Oy, соответственно называются осью абсцисс и осью y.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковые единицы измерения и масштаба, которые показаны линией в начале координат осей. Направление по умолчанию — Ox слева направо и Oy снизу вверх. Иногда используется попеременное вращение на нужный угол.

Прямоугольная система координат называется декартовой в честь первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название прямоугольной декартовой системы координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Подобную систему имеет трехмерное евклидово пространство, только оно состоит не из двух, а из трех осей Ох, Оу, Оз. Это три взаимно перпендикулярные линии, где Оз называется осью приложения.

По направлению координатных осей они разбиваются на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, называемой началом координат. Каждая ось имеет положительное направление, которое указано стрелками на осях. Если при повороте Ox против часовой стрелки на 90° его положительное направление совпадает с положительным Oy, то это относится и к положительному направлению Oz. Такая система считается правильной. Другими словами, если мы сравним направление X с большим пальцем, то указательный палец отвечает за Y, а средний за Z.

Аналогично формируется левая система координат. Обе системы не могут быть объединены, так как соответствующие оси не будут совпадать.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на оси координат Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке M, лежащей на данной прямой. Если точка лежит на координатной прямой на расстоянии 2 от начала координат в положительном направлении, то она равна 2, если -3, то соответствующее расстояние равно 3. Ноль является началом координатных линий.

Другими словами, каждая точка M, лежащая на Ox, равна вещественному числу xM. Это действительное число равно нулю, если точка М находится в начале координат, то есть в точке пересечения Ох и Оу. Число длины сегмента всегда положительное, если точка удаляется в положительном направлении, и наоборот.

Имеющееся число xM называется координатой точки M на данной координатной прямой.

В качестве проекции точки Mx на Ox и в качестве проекции точки My на Oy возьмем точку. Это означает, что через точку M можно провести прямые, перпендикулярные осям Ox и Oy, где мы получим соответствующие точки пересечения Mx и My .

Тогда точка Мх на оси Ох имеет соответствующий номер хМ, а Мю на Оу — уМ. На осях координат это выглядит так:

Каждой точке M на данной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует одна пара чисел (xM, yM), называемая ее координатами. Абсцисса M равна xM, ордината M равна yM .

Обратное утверждение также считается верным: каждой упорядоченной паре (xM, yM) соответствует заданная точка на плоскости.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть это будут Mx, My, Mz — проекции точки M на соответствующие оси Ox, Oy, Oz. Тогда значения этих точек на осях Ox, Oy, Oz примут значения xM, yM, zM. Представим это на координатных линиях.

Чтобы получить проекции точки М, необходимо добавить перпендикуляры Ох, Оу, Оz, чтобы продолжить и изобразить как плоскости, проходящие через М. Таким образом, плоскости пересекутся в точках Мх, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM), которые называются координатами точки M, , xM, yM, zM — числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точка М. Для этого суждения верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной тройке действительных чисел (xM, yM, zM) в данной прямоугольной системе координат соответствует одна точка M в трехмерном пространстве.

Системы координат

Название оси x относится к системам координат. На самом деле в мире используются две системы, хотя декартова система координат нам знакома.

Плоская декартова система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Пересечение между отрезками считается началом отчета. На каждом из сегментов указан отдельный сегмент и направление движения.

Каждый из перпендикулярных отрезков называется осью. Единичный сегмент для каждой из осей может быть разным. Направления обычно задаются традиционно: вверх и вправо. Но иногда составители задач пытаются подловить на этом студентов и создают в системе другие направления. Поэтому необходимо быть предельно осторожным при работе с чужой системой координат.

Другая система координат называется полярной. Если в декартовой системе для определения положения точки нужно знать две координаты, то в полярной системе нужно знать координату и угол места. Эта система использовалась еще в древности, сегодня от нее почти отказались из-за чрезмерной сложности.

Декартова система координат

Принцип работы с декартовой системой основан на понимании концепции проекции. Проекция в системе представляет собой перпендикуляр, опущенный на ось. Оси обозначены как x и y. Ось X направлена ​​вправо. Ось Y направлена ​​влево.

Представьте себе точку на плоскости. Если нам нужно знать его координаты, нам нужно опустить два перпендикуляра: по одному на каждую ось.

Так мы получаем проекцию точки на ось абсцисс, это отрезок от начала отчета до пересечения оси с перпендикуляром. И проекция отрезка на ось Y: это расстояние по оси Y от начала координат до пересечения оси с перпендикуляром.

Значением каждой из проекций будут координаты точки на плоскости. С теми же координатами можно снова получить точку. Для этого отложите на осях необходимые значения, а затем проведите перпендикулярные осям прямые линии через заданные точки. Пересечение перпендикуляров и будет искомой линией.

Оси декартовой системы

Вот мы и подошли к главному вопросу. Ось x называется осью x. Название происходит от латинского «сегмент». Ось так называется, потому что она отслеживает горизонтальное движение до точки.

Вторая ось называется осью Y, от латинского «порядок, движение по порядку». Это означает, что эта координата отслеживает порядок движения вверх. Такова была логика древних математиков.

Секрет в том, что названия осей можно менять как угодно, но оси все равно будут называться осью х и осью у. Независимо от буквенного обозначения осей, отдельных сегментов и происхождения.

Что мы узнали?

Мы говорили о системах координат. Мы различали полярную и декартову системы. Отдельно обсуждалась декартова система. Мы говорили об обязательных свойствах системы координат: единичный отрезок, направление осей, начало координат. Узнайте, что такое ось х. Мы рассказали о том, почему каждый из топоров получил такое название.

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические вычисления. Так появился координатный метод, о котором мы сейчас и поговорим.

Координаты — это набор чисел, определяющих положение объекта на линии, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно написать цифрами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем объект набором букв, цифр или других символов, мы тем самым задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, изобретенная математиком Рене Декартом, также известная как декартова система координат. Он состоит из двух взаимно перпендикулярных лучей с началом в точке пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых начнется отсчет. На плоскости эту роль будут играть две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой х (х). Ось пишется так: Ох. Положительное направление оси x указано стрелкой слева направо.

Затем проводится вертикальная ось, которая называется осью ординат и обозначается y (y). Запишите ось Оу. Положительное направление оси Y указано стрелкой снизу вверх.

Оси перпендикулярны друг другу, значит, угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом каждой из осей и обозначается следующим образом: О. Начало делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Оси координат — это прямые линии, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox является горизонтальной осью.
• Ось Y является вертикальной осью.
• Координатная плоскость – это плоскость, в которой расположена система координат, обозначается следующим образом: x0y.
• Единичный отрезок – это величина, принимаемая за единицу в геометрических построениях. В декартовой системе координат на каждой из осей отмечен один сегмент. Длина отрезка показывает, сколько раз один отрезок и его части входят в данный отрезок.

Отдельные сегменты располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения по оси Оу размещают слева или справа, по оси Ох — под ней. Чаще всего отдельные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но есть задачи, где они не совпадают.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатных четверти.

Каждая из координатных четвертей имеет свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• правый верхний угол — первая четверть I;
• левый верхний угол — вторая четверть II;
• левый нижний угол — третья четверть III;
• правый нижний угол — четвертая четверть IV;

Чтобы найти координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить перпендикуляр из точки к каждой оси и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записываются в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Правила координат:

• Если обе координаты положительные, точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата x отрицательна, а координата y положительна, точка находится во втором квадранте.
• Если обе координаты отрицательные, число находится в третьей четверти.
• Если координата x положительна, а координата y отрицательна, то точка находится в четвертом квадранте.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на оси координат Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке M, лежащей на данной прямой. В этом случае начало координатных линий всегда равно нулю.

Каждая точка M, лежащая на Ox, равна действительному числу xM. Это действительное число равно нулю, если точка М находится в начале координат, то есть в точке пересечения Ох и Оу. Если точку удалить в положительном направлении, длина отрезка положительна и наоборот.

Число xM является координатой точки M на данной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ox, а My на Oy. Это означает, что через точку М можно провести прямые, перпендикулярные осям Ох и Оу, после чего мы получим соответствующие точки пересечения Мх и My. Тогда точка Mx на оси Ox имеет соответствующий номер xM, а My на Oy — yM. Вот как это выглядит на осях координат:

Каждой точке М на данной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (хМ, уМ), которые называются ее координатами. Абсцисса M равна xM, ордината M равна yM.

Верно и обратное: каждой паре (xM, yM) соответствует точка на плоскости.