Отрицательная степень чисел и дробей

Определение понятия

Вот определение, точно отражающее смысл: «Возведение в степень есть определение значения степени числа».

Следовательно, построение числа ai art r и процесс нахождения значения степени a с показателем r будут тождественными понятиями. Например, если задача состоит в вычислении значения степени (0,6) 6″, ее можно упростить до выражения «Старшее число 0,6 в степени 6».

После этого можно переходить непосредственно к правилам построения.

Возведение в отрицательную степень

Минус степень означает, что число умножается само на себя столько раз, сколько написано в статье, а затем единица делится на вычисленный результат.

Для ясности рассмотрим следующую цепочку выражений:

110 = 0,1 = 1*10 в минус 1 шт.,

1100 = 0,01 = 1*10 в минус 2 ступени.,

11000 = 0,0001 = 1*10 минус 3 шт.,

110000=0,00001=1*10 до минус 4 градусов.

Благодаря этим примерам вы можете наглядно увидеть возможность вычисления 10 сразу в любой отрицательной степени. Для этого достаточно просто передвинуть десятичную составляющую:

• 10 до -1 градус — перед единицей 1 ноль;
• i -3 — три нуля перед единицей;
• в -9, 9 нули и так далее.

Также легко понять по этой схеме, сколько будет 10 минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Рассматривая определение, считаем, что натуральное число ai природы n равно произведению n множителей, каждый из которых равен а. Проиллюстрируем: (a * a * . a) n, где n — количество чисел, которые нужно умножить. Соответственно, чтобы возвести a в n, необходимо вычислить произведение следующего вида: a * a * . и разделить на n раз.

Отсюда становится очевидным, что построение в натуральном искусстве зависит от умения производить умножение (этому материалу посвящен раздел об умножении действительных чисел). Давайте посмотрим на проблему:

Поднять -2 к 4-му ст.

Решение:

Мы имеем дело с натуральным индикатором. Следовательно, ход решения будет следующим: (-2) в ст. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось выполнить умножение целых чисел: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Получаем 16.

Ответ на задание:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Решение:

Этот пример равен следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Вспоминая, как выполняется умножение смешанных чисел, завершаем построение:

• 3 целых 2 седьмых, умноженные сами на себя;
• равно 23 седьмых, умноженных на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятым частям;
• уменьшаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Возведение в иррациональную стeпeнь

Относительно вопроса о приведении к иррациональному показателю следует отметить, что расчеты начинают производиться после завершения предварительного округления основания степени до определенного ранга, что позволит получить значение с заданной точностью . Например, нам нужно возвести в квадрат число P (пи.

Начнем с округления P до сотых и получим:

Р в квадрате = (3,14) 2 = 9,8596. Но если мы уменьшим P до десятитысячных, то получим P = 3,14159. Тогда при возведении в квадрат получается совсем другое число: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет необходимости возводить иррациональные числа в степень. Как правило, ответ вводится либо в виде действительной степени, например, корень из 6 в степени 3, либо, если позволяет выражение, выполняется преобразование: корень из 5 в 7 степени u003d 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию целесообразно учитывать в следующих случаях:

• для целых чисел;
• для нулевого индикатора;
• для положительного целого числа.

Поскольку почти все положительные целые числа совпадают с массой натуральных чисел, возведение ее в степень положительного целого числа — это тот же процесс, что и естественное приведение ее в искусстве. Мы описали этот процесс в предыдущем разделе.

Теперь поговорим о расчете по ст. 0. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа а можно определить для любого отличного от нуля а (вещественного), а аи ст. 0 будет равно 1.

Следовательно, построение любого действительного числа до нуля искусство даст единицу.

Например, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1 и 0 в ст. 0 не может быть определен.

Для завершения возведения в степень целой степени осталось определить варианты для отрицательных целых значений. Мы помним, что Art from a с целым показателем степени -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби стоит Искусство с целым положительным значением, значение, которое мы уже научились находить. Теперь осталось только рассмотреть пример построения.

Пример:

Вычислите значение числа 2 в кубе отрицательного целого числа.

Процесс решения:

По определению степени с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 сс равно одному в два в третьей степени.

Знаменатель рассчитывается просто: два кубика;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два минус 3 ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень имеет отрицательный показатель.

Правила возведения числа в отрицательную степень

Для освоения представленного ниже материала необходимо знать, что такое степень числа и какими свойствами оно обладает. Мы подробно обсуждали этот вопрос в отдельной публикации.

Целое число

Алгоритм действий:

1. Представим число в виде обыкновенной дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе — исходное число.
2. Меняем отрицательную степень на положительную.
3. Возведите полученную дробь в степень.

Общая формула выглядит так:

• а ≠ 0;
• n ∈ Z, т.е множество целых чисел.

Примеры:

Примечание: любое число, возведенное в ноль, равно единице.

а0 = 1, где а ≠ 0

Примеры:

• 70 = 1;
• (-16)0 = 1.

Десятичная дробь

Чтобы возвести десятичную дробь в отрицательную степень, выполните те же действия, что и для целых чисел.

Примеры:

Обыкновенная дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, сделайте следующее:

1. Поменять местами числитель и знаменатель;
2. Заменяем отрицательную степень на положительную;
3. Возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Примечания:

• Если дробь положительна, возведение ее в любую степень также дает результат больше нуля.
• Если знак дроби отрицательный, то при возведении до нечетного числа получается отрицательная дробь, а при возведении до четного числа получается положительная.

Примеры:

Примечание. Обычную дробь также можно сначала преобразовать в десятичную, а затем возвести в степень.

Пример:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

Когда вы умножаете отрицательные степени с одним и тем же основанием, степени складываются вместе, как и при умножении положительных степеней:

ам ан = ам + п

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатель делителя вычитается из показателя степени делимого, так же как и при делении положительных степеней:

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, возведите числитель и знаменатель отдельно в эту степень:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести каждый множитель произведения в эту степень по отдельности:

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называются эквивалентными, если они имеют одинаковые корни. Уравнения, не имеющие корней, также считаются эквивалентными.

Так, например, уравнения будут эквивалентны

Уравнения

— не равнозначны, так как корень первого уравнения — число 10, а корень второго — число 9.

Ранее, в 7-м классе, вы познакомились со свойствами, преобразующими уравнения в эквивалентные уравнения.

1) Если в какой-либо части уравнения раскрыть скобки или ввести аналогичные члены, то получится соответствующее этому уравнению;

2) если в уравнении перенести член из одной части в другую, а знак поменять на противоположный, то получим уравнение, соответствующее данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится уравнение, соответствующее заданному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями.

В первых двух уравнениях выше левая и правая части представляют собой целые выражения. Такие уравнения называются полными рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения является дробным выражением, оно называется рациональным дробным уравнением. Третье из приведенных выше уравнений является рациональной дробью.

Как решать полные рациональные уравнения, мы рассматривали, когда изучали математику на предыдущих уроках. Рассмотрим теперь, как мы решаем рациональные дробные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Помните, что

когда

Отрицательная степень. Отрицательная степень числа. Степень с отрицательным показателем. Степени чисел

Определение степени с отрицательным показателем Формула отрицательной степени Положительная и отрицательная степень Степень с целочисленным отрицательным показателем Основа отрицательной степени Свойства отрицательных показателей Отрицательная степень, как решить? Возведение в отрицательную степень Примеры с отрицательными степенями.

Степень с отрицательным показателем определение

Пусть а — любое действительное число, отличное от нуля. Число m является отрицательным целым числом.

Степень с отрицательным показателем степени определения:

Ненулевое действительное число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель — единице, возведенной в положительную целую степень m.

Отрицательная степень формула

Для вычисления отрицательных степеней используем формулу:

утра = 1/час

Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение показателя степени.

Положительная и отрицательная степень

Чтобы лучше понять, давайте сравним положительные и отрицательные степени.

Пусть а — любое действительное число, отличное от нуля. Число m — любое целое число.

Тогда a в положительной степени m:

am = a * a * a *… (m раз)

Теперь a в отрицательной степени -m:

утра = 1/час

Степень с целым отрицательным показателем

Обратите внимание, что в этой статье речь идет обо всем отрицательном индикаторе. Здесь важно то, что показатель степени является целым числом.

Пример степени с отрицательным целым показателем:

12-3 = 1/123

Отрицательное основание степени

Отрицательный показатель степени числа и отрицательное основание показателя степени — это две разные вещи.

Рассмотрим отрицательную причину степени на примере.

Пример отрицательного основания для степени:

(-2)3 = -2 * (-2) * (-2) = -8

А теперь пример отрицательной степени числа.

Пример (отрицательная степень числа):

2-3 = 1/23 = 1/8 класс алгебра школа геометрия поиск:

Понятие возведения в степень

Начнем с такого акта проверки, как формулировка основных определений.

Определение 1

возведение числа в степень — это вычисление значения степени числа.

То есть слова «вычисление значения степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так что, если задача состоит в том, чтобы «упражнить число 0,5 в пятой степени», это следует понимать как «вычислить значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которые необходимо соблюдать при таких расчетах.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомните, какова мощность числа с натуральным показателем степени. Для степени с основанием а и показателем степени n это будет произведение n-го числа множителей, каждый из которых равен а. Что такое такое вычисление? Это можно написать так:

Для вычисления значения степени необходимо выполнить операцию умножения, то есть умножить основания степени указанное количество раз. Само понятие степени с натуральным показателем основано на умении быстро умножать. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: поднимите -2 до Силы 4.

Решение

Используя приведенное выше определение, мы пишем: (−2)4=(−2) (−2) (−2) (−2). Тогда нам просто нужно выполнить эти шаги и получить 16.

Возьмем более сложный пример.

Пример 2

Рассчитать значение 3272

Как мы решим

Эту запись можно перевести или переписать как 327 327. Ранее мы рассмотрели, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполните эти шаги и получите ответ: 327 327=237 237=52949=103949

Если в задаче указано на необходимость возведения иррациональных чисел в натуральную степень, мы должны предварительно округлить их основания до цифры, позволяющей получить ответ с нужной точностью. Возьмем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Сначала округлим до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если π≈3,14159, то получаем более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость вычисления степеней иррациональных чисел на практике возникает относительно редко. Затем мы можем записать ответ в виде фактической степени (ln 6)3 или преобразовать, если возможно: 57=1255.

Отдельно нужно сказать, что такое первая степень числа. Здесь можно просто вспомнить, что любое число, возведенное в первую степень, остается самим собой:

а1=а

Это следует из протокола
.

Это не зависит от степени.

Пример 4

Итак, (−9)1=−9, и 73, возведенное в первую степень, остается 73.

Как возвести число в целую степень

Для простоты разберем отдельно три случая: если показатель степени является целым положительным числом, если он равен нулю и если он является отрицательным целым числом.

В первом случае это то же самое, что возведение в натуральную степень: ведь натуральные числа принадлежат множеству натуральных чисел. Как работать с такими математическими степенями, мы уже описали выше.

Теперь давайте посмотрим, как правильно возводится в нулевую степень. При ненулевом основании это вычисление всегда возвращает 1. Мы уже объясняли, что степень 0 числа а может быть определена для любого действительного числа, отличного от 0, и а0=1.

Пример 5

Примеры:

50=1, (-2,56)0=1230=1

00 — не определено.

Нам остается только случай степени с отрицательным целым показателем. Мы уже обсуждали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где a — любое число, а z — отрицательное целое число. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обычная степень натурального числа, и мы уже научились его вычислять. Приведем известные примеры задач.

Пример 6

Поднимите силу от 2 до -3.

Решение 

Используя приведенное выше определение, мы пишем: 2-3=123

Вычислим знаменатель этой дроби. Сколько мы получаем? Число (или сумма) будет равно восьмидесяти восьми: 23=2 2 2=8.

Тогда ответ: 2-3=123=18

Пример 7

увеличьте 1,43 до степени -2.

Решение 

Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

Вычисляем квадрат (показатель квадрата) в знаменателе: 1,43 1,43. Десятичные числа можно умножать следующим образом:

В итоге получили (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Нам осталось записать этот результат в виде обыкновенной дроби, которую необходимо умножить на 10 тысяч (см материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1,43)-2=1000020449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минус) степень. Значение такой степени равно числу, стоящему напротив исходного значения основания: а-1=1а1=1а.

Пример 8

Пример: 3−1=1/3

913-1=13964-1=164 .

Как возвести число в дробную степень

Чтобы выполнить такую ​​операцию, мы должны помнить основное определение степени с дробным показателем: amn=amn для любого положительного a, целого числа m и натурального n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени необходимо проводить в два этапа: возведение в целую степень и нахождение корня n-й степени.

Имеем равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно используется для решения задач вида amn=anm. Это означает, что если мы возводим число а в дробную степень m/n, мы сначала извлекаем n-й корень из a, затем возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.  

Пример 9

Рассчитайте 8-23.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это как: 8-23=8-23

Теперь посчитаем степень под корнем и извлечем из результата третий корень (кубический или кубический): 8-23=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

После этого извлекаем корень 83-2=233-2=2-2 и возводим результат в квадрат: 2-2=122=14

Мы видим, что решения идентичны. Вы можете использовать как угодно.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для облегчения расчета лучше заменить ее обыкновенной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

увеличьте 44,89 до степени 2,5.

Решение 

Преобразуем значение показателя в правильную дробь: 44,892,5 = 44,8952.

А теперь последовательно выполняем все указанные выше действия

Ответ: 13501.25107.

При наличии в числителе и знаменателе дробного показателя больших чисел вычисление таких показателей с рациональными показателями представляет собой довольно сложную и большую работу. Обычно для этого требуются компьютерные технологии.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать следующий смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 null остается неопределенным. Возведение нуля в положительную дробную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а к целому отрицательному - неважно: 0-43.