Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Пересечение прямых, примеры

Пример 1.

Найти точки пересечения прямых

[

begin{cases}
y = 2x — 3 \
y = -3x + 2
end{cases}

]

Решая систему уравнений, находим

[ x = 1 qquad y = -1 ]

Прямые пересекаются в точке (1; -1).

Пример 2.

Прямые

[

begin{cases}
2x — 7y + 12 = 0 \
x — 3.5y + 10 = 0
end{cases}

]

параллельны и не совпадают, так как отношения 2:1 и (-7):(-3,5) равны между собой, но не равны отношению 12:10.

Данная система уравнений не имеет решения.

Пример 3.

Прямые

[

begin{cases}
3x + 2y — 6 = 0 \
6x + 4y — 12 = 0
end{cases}

]

совпадают, так как отношения 3:6, 2:4 и (-6):(-12) равны друг другу.

Второе уравнение получается из первого умножением на 2.

Данная система имеет бесчисленное множество решений.

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников: пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись  обозначает, что прямая  пересекается с прямой  в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые  и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения  умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения  сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

Вывод:

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых  составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных  не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений  найдём направляющие векторы прямых: .

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, значит, векторы  не коллинеарны и прямые  пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

1) Если мало что понятно, начните со статьи Векторы для чайников .
2) Если не понятно, как находить направляющие векторы прямых, прошу посетить урок Уравнение прямой на плоскости .
3) Если неясно, причём тут определитель, вам сюда – Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов .

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при переменных  пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение  удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ:

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая  проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых  один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка  полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые  пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых 

Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки  являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения  целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ:

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых  в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что нужно:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Найти, вычислить пересечение прямых

A1	B1	C1
A2	B2	C2

Вычислитьнажмите кнопку для расчета

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Новый сервис Kampus!

Решим твою учебную задачу всего за 30 минут
Попробовать прямо сейчас

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» Готовые курсовые работы и рефераты Купить от 250 ₽ Консультации эксперта по предмету Найти эксперта Помощь в написании учебной работы Узнать стоимость

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

• Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
• Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения
• Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки
• Прямая на плоскости – необходимые сведения
• Прямая в пространстве – необходимые сведения
• Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

Ответ:

Решение

подробное решение

Скрыть подробное решение

Ответ:

Похожие калькуляторы:

• Длина отрезка. Расстояние между точками
• Середина отрезка
• Каноническое уравнение прямой проходящей через две точки
• Параметрическое Уравнение прямой проходящей через две точки
• Расстояние от точки до прямой на плоскости
• Уравнение плоскости (координаты трех точек)
• Уравнение плоскости (координаты вектора нормали и точки)
• Расстояние от точки до прямой в пространстве
• Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние между плоскостями
• Угол между плоскостями
• Угол между прямой и плоскостью

Как найти точку пересечения двух прямых. Онлайн-калькулятор

Программа позволяет ввести данные из условия, сразу получить подробный расчет. Самостоятельно производить вычисления не требуется. Сервис протестирован, выдает верный результат.

Почему пользователи выбирают сервис:

• Бесплатные расчеты. За использование сайта не надо платить. Теперь можно без репетитора готовиться к поступлению в ВУЗ, разбираться в новом материале.
• Быстрый ответ. Вам не придется отвлекаться на регистрацию. Можно сразу приступить к вычислениям.
• Доступ без ограничений. Каждой из программ можно пользоваться столько раз, сколько необходимо. Поэтому на сайте удобно повторять пройденный материал по алгебре, геометрии, готовиться к контрольным.
• Подробное решение. Каждый расчет включает пошаговые действия. Это позволяет быстро осуществить самопроверку, найти ошибку в своих подсчетах.

Найдите координаты точки пересечения прямых с помощью программы на сайте или обратитесь к консультанту. В случае затруднений, большого объема заданий или необходимости в онлайн-помощи мы подберем по вашему запросу опытного преподавателя из нашего штата. Мы предлагаем объяснение непонятной темы, выполнение заданий по выгодной цене.

Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!Разделы калькуляторов

• Процент
• Решение матриц
• Точка, прямая, плоскость
• Конвертеры
• Объем фигур
• Калькуляторы площади фигур
• Решение уравнений
• Операции над векторами
• Периметр фигур

Поможем с любой работой

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Решение задач
• Отчеты по практике

Все наши услугиХотите решать задачи и зарабатывать?
Узнать подробнее

<хедер>Узнай бесплатно стоимость работы

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Найти точку пересечения прямых

Плоская задача

Уравнение 1-ой прямой:
с угловым коэффициентомканоническоепараметрическое

y = x +

Уравнение 2-ой прямой:
с угловым коэффициентомканоническоепараметрическое

y = x +

Ввод данных в калькулятор для вычисления координат точки пересечения прямых

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления координат точки пересечения прямых

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Координаты точки пересечения двух прямых

Определение. Точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Аналитический метод решения. Для поиска точки пересечения прямых, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых. Смотрите также справочник: точка пересечения двух прямых.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Справочник. Точка пересечения двух прямых   Попробуйте онлайн калькуляторы из темы аналитическая геометрия, декартовые координаты Длина отрезка. Расстояние между точками Середина отрезка Уравнение прямой проходящей через две точки Точка пересечения прямых Угол между прямыми Расстояние от точки до прямой на плоскости Расстояние от точки до прямой в пространстве Уравнение плоскости Расстояние от точки до плоскости Расстояние между плоскосями Угол между плоскостями Угол между прямой и плоскостью Показать все онлайн калькуляторы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0

Присоединяйтесь

Перпендикуляр и наклонная

При пересечении вертикальной и горизонтальной прямой линии образуется четыре прямых угла. Такие линии, относительно друг к другу, называются перпендикулярными линиями или просто перпендикулярами:

Прямые  a  и  b  взаимно перпендикулярны. Перпендикулярность обозначается символом  ⊥,  то есть  a ⊥ b  или  b ⊥ a.  Каждая из этих прямых называется перпендикуляром относительно другой прямой:  a  — это перпендикуляр к  b,  и  b  — перпендикуляр к  a.

Даже если прямые не являются вертикальной и горизонтальной линиями, но при пересечении образуют четыре прямых угла, то они всё равно являются перпендикулярными:

Если прямая линия пересекает другую не под прямым углом, то такая линия называется наклонной к прямой, которую она пересекает. При этом образуется четыре угла: два из них будут острыми и два тупыми:

Образованные острые углы равны и относительно друг друга будут называться вертикальными углами. То же самое можно сказать и об образованных тупых углах — они равные и вертикальные.

Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения

• Содержание
• 1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.
• 2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
• 3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
• 4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
• 5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1:   A1x+B1y+C1=0,

(1)

L2:   A2x+B2y+C2=0

(2)

где n1={A1, B1} и n2={A2, B2} − нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (2) нужно решить систему линейных уравнений (1) и (2) относительно переменных x,y. Для этого запишем систему (1),(2) в матричном виде:

(3)

Построим расширенную матрицу:

(4)

Приведем (4) к верхнему диагональному виду. Пусть A1≠0 . Тогда сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −A2/A1:

(5)

где

Если B’2=0 и С’2=0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если B’2=0 и С’2≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B’2≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y: y=С’2/B’2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x: x=(−С1−B1y)/A1. Получили точку пересечения прямых L1 и L2: M(x, y).

Подробнее о решении систем линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

(6)

(7)

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение L1 к общему виду. Сделаем перекрестное умножение в уравнении (6):

p1(x−x1)=m1(y−y1)

Откроем скобки и сделаем преобразования:

p1x−m1y−p1x1+m1y1=0

Обозначив A1=p1, B1=−m1, C1=−p1x1+m1y1, получим общее уравнение прямой (6):

A1x+B1y+C1=0

(8)

Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):

A2x+B2y+C2=0

(9)

Терерь можно найти точку пересечения прямых L1 и L2 методом, описанным в параграфе 1.

3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

(10)

(11)

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение прямой L1 к каноническому виду. Для этого из уравнений (10) найдем параметр t:

(12)

Из уравнений (12) следует:

Аналогичным образом можно найти каноническое уравнение прямой L2:

Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.

4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1:   A1x+B1y+C1=0,

(13)

(14)

где n={A1, B1} нормальный вектор прямой L1, q={m, p} − направляющий вектор прямой L2 .

Найдем точку пересечения прямых L1 и L2. Для этого подставим x=x2+mt, y=y2+pt в (13):

A1(x2+mt)+B1(y2+pt)+C1=0,

(15)

Найдем t:

A1x2+A1mt+B1y2+B1pt+C1=0,

(16)

Если числитель и знаменатель в (16) одновременно равны нулю, то любое значение t удовлетворяет уравнению (15), следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если знаменатель равен нулю а числитель отличен от нуля, то прямые L1 и L2 не пересекаются, т.е. они параллельны.

Пусть знаменатель не равен нулю. Подставляя полученное значение t в (14), получим координаты точки пересечения прямых L1 и L2.

5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  2x+y+4=0,

(17)

L2:  x−3y+2=0.

(18)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (17) и (18). Представим уравнения в матричном виде:

(19)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y. Для этого воспользуемся методом Гаусса. Получим:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

M (−2, 0).

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  2x+3y+4=0,

(20)

(21)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде:

(22)

Для решения (22) воспользуемся методом Гаусса. Получим:

где λ− произвольное действительное число.

Имеем больше одного решения. Это означает, что прямые L1 и L2 совпадают.

Ответ. Прямые L1 и L2 совпадают.

Пример 3. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  −5x+y+9=0,

(23)

L2:  −10x+2y−3=0,

(24)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (23) и (24). Представим уравнения в матричном виде:

(25)

Применив метод Гаусса получим, что система (25) несовместна. Следовательно эти прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямые L1 и L2 не имеют общую точку, т.е. они параллельны.

Пример 4. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

(26)

L2:  x+2y−9=0,

(27)

Приведем, сначала, уравнение прямой (26) к общему виду:

2(x−3)=y+5

2x−y−11=0

(28)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (28) и (27). Представим уравнения в матричном виде:

(29)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

.